Normální distribuční vzorec
Normální rozdělení je rozdělení, které je symetrické, tj. Kladné hodnoty a záporné hodnoty rozdělení lze rozdělit na stejné poloviny, a proto budou průměr, medián a režim stejné. Má dva ocasy, jeden je známý jako pravý ocas a druhý jako levý ocas.
Vzorec pro výpočet lze vyjádřit jako
X ~ N (µ, α)
Kde
- N = počet pozorování
- µ = průměr z pozorování
- α = směrodatná odchylka
Ve většině případů pozorování neodhalí mnoho v surové podobě. Je tedy nezbytné standardizovat pozorování, abychom to mohli porovnat. Dělá se to pomocí vzorce z-skóre. Je nutné vypočítat Z-skóre pro pozorování.
Rovnice pro výpočet Z skóre pro normální rozdělení je znázorněna následovně,
Z = (X- µ) / α
Kde
- Z = Z-skóre pozorování
- µ = průměr z pozorování
- α = směrodatná odchylka
Vysvětlení
Distribuce je normální, pokud sleduje křivku zvonu. Je známá jako křivka zvonu, protože má tvar zvonu. Jednou z nejdůležitějších charakteristik normální křivky je, že je symetrická, což znamená, že kladné hodnoty a záporné hodnoty rozdělení lze rozdělit na stejné poloviny. Další základní charakteristikou proměnné bytosti je, že pozorování bude v rámci 1 standardní odchylky od průměru 90% času. Pozorování budou dvě standardní odchylky od průměru 95% času a budou v rozmezí tří standardních odchylek od průměru 99% času.
Příklady
Příklad č. 1
Průměr hmotností třídy studentů je 65 kg a standard hmotnosti je 0,5 kg. Pokud předpokládáme, že distribuce návratnosti je normální, interpretujme váhu studentů ve třídě .
Když je rozdělení normální, pak 68% leží v rámci 1 směrodatné odchylky, 95% leží ve 2 směrodatných odchylkách a 99% leží se 3 směrodatnými odchylkami.
Vzhledem k tomu,
- Průměrná návratnost hmotnosti bude 65 kg
- Standardní odchylka bude 3,5 kg
Takže 68% času bude hodnota distribuce v níže uvedeném rozsahu,
- Horní rozsah = 65 + 3,5 = 68,5
- Dolní rozsah = 65-3,5 = 61,5
- Každý ocas bude (68% / 2) = 34%
Příklad č. 2
Pokračujme ve stejném příkladu. Průměr hmotností třídy studentů je 65 kg a standardní hmotnost je 3,5 kg. Pokud předpokládáme, že distribuce návratnosti je normální, interpretujme ji pro váhu studentů ve třídě.
Vzhledem k tomu,
- Průměrná návratnost hmotnosti bude 65 kg
- Standardní odchylka bude 3,5 kg
Takže 95% času bude hodnota distribuce v níže uvedeném rozsahu,
- Horní rozsah = 65 + (3,5 * 2) = 72
- Dolní rozsah = 65- (3,5 * 2) = 58
- Každý ocas bude (95% / 2) = 47,5%
Příklad č. 3
Pokračujme ve stejném příkladu. Průměr hmotností třídy studentů je 65 kg a standardní hmotnost je 3,5 kg. Pokud předpokládáme, že distribuce návratnosti je normální, interpretujme ji pro váhu studentů ve třídě.
Vzhledem k tomu,
- Průměrná návratnost hmotnosti bude 65 kg
- Standardní odchylka bude 3,5 kg
Takže v 99% případů bude hodnota distribuce v níže uvedeném rozsahu,
- Horní rozsah = 65+ (3,5 * 3) = 75,5
- Dolní rozsah = 65- (3,5 * 3) = 54,5
- Každý ocas bude (99% / 2) = 49,5%
Relevance a použití
Normální rozdělení je zásadní statistický koncept, protože většina náhodných proměnných ve financích sleduje takovou křivku. Hraje důležitou roli při vytváření portfolií. Kromě financí bylo zjištěno, že takové rozdělení sleduje mnoho skutečných parametrů. Například, když se pokusíme zjistit výšku studentů ve třídě nebo váhu studentů ve třídě, pozorování se rozdělí normálně. Stejně tak známky zkoušky sledují stejné rozdělení. Pomáhá normalizovat známky na zkoušce, pokud většina studentů skórovala pod známkou prospěšnou, a to stanovením limitu pro vyslovení pouze neúspěšných, kteří skórovali pod dvě standardní odchylky.
