Eulerova úplná funkce - význam, příklady, jak vypočítat?

Co je Eulerova úplná funkce?

Eulerova funkce Totient je matematická multiplikativní funkce, která počítá kladná celá čísla až po dané celé číslo, obecně nazývaná jako „n“, která jsou prvočíslem až „n“, a pomocí této funkce se zná počet prvočísel, která existují až do dané celé číslo „n“.

Vysvětlení

Chcete-li vědět, kolik prvočísel přichází k danému celému číslu, použije se Eulerova totientová funkce. Nazývá se také aritmetická funkce. Pro aplikaci nebo použití funkce Euler's Totient jsou důležité dvě věci. Jedním z nich je, že gcd vytvořený z daného celého čísla ‚n 'by měl být navzájem multiplikativní a druhým je, že čísla gcd by měla být pouze prvočísly. Celé číslo „n“ by v tomto případě mělo být větší než 1. Ze záporného celého čísla není možné vypočítat Eulerovu totientní funkci. V tomto případě platí zásada, že pro ϕ (n) by multiplikátory zvané m an měly být větší než 1. Proto označeno 1

Dějiny

Euler představil tuto funkci v roce 1763. Zpočátku Euler používal pro označení funkce řecké π, ale kvůli některým problémům jeho označení řecké π nedostalo uznání. A nedokázal mu dát správnou notaci, tj. Φ. Tuto funkci proto nelze zavést. Dále byl ϕ převzat z Gaussova 1801 Disquisitiones Arithmeticae. Tato funkce se také nazývá funkce phi. Ale JJ Sylvester, v roce 1879, zahrnul termín totient pro tuto funkci kvůli vlastnostem a použití funkcí. Různá pravidla jsou orámována tak, aby se vypořádala s různými druhy celých čísel, jako když je celé číslo p prvočíslo, které pravidlo má být použito atd. Všechna pravidla orámovaná Eulerem jsou proveditelná a lze je použít i dnes při řešení stejný.

Vlastnosti Eulerovy totientní funkce

Existují některé z různých vlastností. Některé z vlastností Eulerovy totientové funkce jsou pod:

  • Φ je symbol používaný k označení funkce.
  • Funkce se zabývá teorií prvočísel.
  • Funkce je použitelná pouze v případě kladných celých čísel.
  • Pro ϕ (n) lze pro výpočet funkce najít dvě multiplikativní prvočísla.
  • Tato funkce je matematická funkce a je užitečná v mnoha ohledech.
  • Pokud celé číslo 'n' je prvočíslo, pak gcd (m, n) = 1.
  • Funkce pracuje na vzorci 1 <m <n, kde m a n jsou prvočísla a multiplikativní čísla.
  • Obecně platí, že rovnice je
Φ (mn) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • Funkce v zásadě počítá počet kladných celých čísel menší než dané celé číslo, což je relativně prvočíslo k danému celému číslu.
  • Pokud je dané celé číslo p prvočíslo, pak ϕ (p) = p - 1
  • Pokud je síla p prvočíslo, pak pokud a = p n je prvočíslo, pak ϕ (p n ) = p n - p (n-1)
  • ϕ (n) není jedna - jedna
  • ϕ (n) není na.
  • ϕ (n), n> 3 je vždy sudé.
  • ϕ (10 n ) = 4 * 10 n-1

Vypočítejte Eulerovu úplnou funkci

Příklad č. 1

Vypočítat ϕ (7)?

Řešení:

ϕ (7) = (1,2,3,4,5,6) = 6

Jelikož všechna čísla jsou prvočísla až 7, bylo snadné vypočítat ϕ.

Příklad č. 2

Vypočítat ϕ (100)?

Řešení:

Protože 100 je velké číslo, je časově náročné počítat od 1 do 100 prvočísel, což jsou prvočísla se 100. Proto použijeme následující vzorec:

  • ϕ (100) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5
  • ϕ (100) = 2 2 * 2 5 * (1 - 1/2) * (1 - 1/5)
  • = 100 * 1/2 * 4/5
  • = 40

Příklad č. 3

Vypočítat ϕ (240)?

Násobky 240 jsou 16 * 5 * 3, tj. 2 4 * 5 * 3

  • ϕ (240) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (240) = 2 4 * 5 * 3

pokud n M není prvočíslo, použijeme n m - n m-1

  • = (2 4 - 2 (4-1) ) * (5 1 - 5 (1-1) ) * (3 1 - 3 (1-1) )
  • = (2 4 - 2 3 ) * (5 - 1) * (3 - 1)
  • = 64

Příklad č. 4

Vypočítat ϕ (49)?

  • ϕ (49) = ϕ (m) * ϕ (n) (1- 1 / m) (1 - 1 / n)
  • ϕ (49) = ϕ (7) * ϕ (7)
  • = (7 1 - 7 (1-1) ) * (7 1 - 7 (1-1) )
  • = (7-1) * (7-1)
  • = 6 * 6
  • = 36

Aplikace

Různé aplikace jsou uvedeny níže:

  • Tato funkce se používá k definování šifrovacího systému RSA používaného pro šifrování internetového zabezpečení.
  • Používá se v teorii prvočísel.
  • Používá se také ve velkých výpočtech.
  • Používá se v aplikacích teorie elementárních čísel.

Závěr

Eulerova totientová funkce je užitečná v mnoha ohledech. Používá se v šifrovacím systému RSA, který se používá z bezpečnostních důvodů. Funkce se zabývá teorií prvočísel a je užitečná také při výpočtu velkých výpočtů. Tato funkce se také používá při algebraických výpočtech a elementárních číslech. Symbol používaný k označení funkce je ϕ a také se jí říká funkce phi. Funkce spočívá spíše v teoretickém než praktickém použití. Praktické využití této funkce je omezené. Funkci lze lépe pochopit pomocí různých praktických příkladů, než pouze pomocí teoretických vysvětlení. Pro výpočet Eulerovy totientové funkce existují různá pravidla a pro různá čísla platí různá pravidla. Tato funkce byla poprvé představena v roce 1763, ale kvůli některým problémůmzískal uznání v roce 1784 a název byl upraven v roce 1879. Tato funkce je univerzální funkcí a lze ji použít všude.

Zajímavé články...