Definice centrální limitní věty
Centrální limitní věta uvádí, že náhodné vzorky populační náhodné proměnné s jakýmkoli rozdělením se přiblíží k normální distribuci pravděpodobnosti, jak se zvětší velikost vzorku, a předpokládá, že když velikost vzorku v populaci přesáhne 30, střední hodnota vzorku, jehož průměr ze všech pozorování u vzorku se bude blížit průměru k populaci.
Centrální limitní věta
Již jsme diskutovali o tom, že když velikost vzorku přesáhne 30, rozdělení má tvar normálního rozdělení. Pro určení normálního rozdělení proměnné je důležité znát její průměr a její rozptyl. Normální rozdělení lze uvést jako
X ~ N (µ, α)
Kde
- N = počet pozorování
- µ = průměr z pozorování
- α = směrodatná odchylka
Ve většině případů pozorování neodhalí mnoho v surové podobě. Je tedy nezbytné standardizovat pozorování, abychom to mohli porovnat. Dělá se to pomocí z-skóre. Je nutné vypočítat Z-skóre pro pozorování. Vzorec pro výpočet z-skóre je
Z = (X- µ) / α / √n
Kde
- Z = Z-skóre pozorování
- µ = průměr z pozorování
- α = směrodatná odchylka
- n = velikost vzorku
Vysvětlení
Centrální limitní věta uvádí, že náhodné vzorky proměnné náhodné populace s jakýmkoli rozdělením se přiblíží k tomu, že budou normální distribucí pravděpodobnosti, jak se zvětší velikost vzorku. Centrální limitní věta předpokládá, že jak velikost vzorku v populaci přesáhne 30, průměr vzorku, který je průměrem všech pozorování vzorku, bude blízký průměru populace. Rovněž standardní odchylka vzorku, když velikost vzorku přesáhne 30, se bude rovnat standardní odchylce populace. Jelikož je vzorek náhodně vybrán z celé populace a velikost vzorku je větší než 30, pomáhá při testování hypotéz a konstrukci intervalu spolehlivosti pro testování hypotéz.
Příklady vzorce střední limitní věty (s šablonou Excel)
Příklad č. 1
Pojďme pochopit koncept normálního rozdělení pomocí příkladu. Průměrný výnos z podílového fondu je 12% a standardní odchylka od průměrného výnosu z investice do podílového fondu je 18%. Pokud předpokládáme, že rozdělení výnosu je obvykle rozděleno, pojďme interpretovat rozdělení výnosu v investici podílového fondu.
Vzhledem k tomu,
- Průměrná návratnost investice bude 12%
- Směrodatná odchylka bude 18%
Abychom tedy zjistili návratnost pro 95% interval spolehlivosti, můžeme ji zjistit řešením rovnice jako
- Horní rozsah = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Dolní rozsah = 12 - 1,96 (18) = -23%
Výsledek znamená, že v 95% případů bude výnos z podílového fondu v rozmezí 47% až -23%. V tomto příkladu nám velikost vzorku, což je výnos náhodného vzorku s více než 30 pozorováními návratu, poskytne výsledek pro populační výnos podílového fondu, protože rozdělení vzorku bude normálně distribuováno.
Příklad č. 2
Pokračujeme stejným příkladem a určíme, jaký bude výsledek pro 90% interval spolehlivosti
Vzhledem k tomu,
- Průměrná návratnost investice bude 12%
- Směrodatná odchylka bude 18%
Abychom tedy zjistili návratnost 90% intervalu spolehlivosti, můžeme ji zjistit řešením rovnice jako
- Horní rozsah = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Dolní rozsah = 12 - 1,65 (18) = -18%
Výsledek znamená, že v 90% případů bude výnos z podílového fondu v rozmezí 42% až -18%.
Příklad č. 3
Pokračujeme stejným příkladem a určíme, jaký bude výsledek pro 99% interval spolehlivosti
Vzhledem k tomu,
- Průměrná návratnost investice bude 12%
- Směrodatná odchylka bude 18%
Abychom tedy zjistili návratnost 90% intervalu spolehlivosti, můžeme ji zjistit řešením rovnice jako
- Horní rozsah = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Dolní rozsah = 12 - 2,58 (18) = -34%
Výsledek znamená, že v 99% případů bude výnos z podílového fondu v rozmezí 58% až -34%.
Relevance a použití
Centrální limitní věta je nesmírně přínosná, protože umožňuje výzkumníkovi předpovědět průměr a směrodatnou odchylku celé populace pomocí vzorku. Jelikož je vzorek náhodně vybrán z celé populace a velikost vzorku je větší než 30, pak se jakákoli náhodná velikost vzorku odebraná z populace přiblíží k normální distribuci, což pomůže při testování hypotéz a konstrukci intervalu spolehlivosti pro testování hypotéz. Na základě centrální limitní věty je výzkumný pracovník schopen vybrat libovolný náhodný vzorek z celé populace, a pokud je velikost vzorku větší než 30,poté může pomocí vzorku předpovědět populaci, protože vzorek bude sledovat normální rozdělení a také jako průměr a směrodatná odchylka vzorku bude stejná jako průměr a směrodatná odchylka populace.
