Vzorec pro výpočet Z-skóre
Z-skóre nezpracovaných dat se týká skóre generovaného měřením toho, kolik standardních odchylek nad nebo pod průměrem populace jsou data, což pomáhá při testování uvažované hypotézy. Jinými slovy, je to vzdálenost datového bodu od střední hodnoty populace, která je vyjádřena jako násobek směrodatné odchylky.
- Z-skóre se mění v rozsahu -3násobku směrodatné odchylky (zcela vlevo od normálního rozdělení) až +3násobku směrodatné odchylky (zcela vpravo od normálního rozdělení).
- Z-skóre mají průměr 0 a směrodatnou odchylku 1.
Rovnice pro z-skóre datového bodu se vypočítá odečtením střední hodnoty populace od datového bodu (označované jako x ) a poté se výsledek dělí standardní směrodatnou odchylkou populace. Matematicky je reprezentován jako,
Z skóre = (x - μ) / ơ
kde
- x = Datový bod
- μ = průměr
- ơ = směrodatná odchylka
Výpočet skóre Z (krok za krokem)
Rovnici pro z-skóre datového bodu lze odvodit pomocí následujících kroků:
- Krok 1: Nejprve určete průměr datové sady na základě datových bodů nebo pozorování, které jsou označeny x i , zatímco celkový počet datových bodů v datové sadě je označen N.
- Krok 2: Dále určete směrodatnou odchylku populace na základě střední hodnoty populace μ, datových bodů x i a počtu datových bodů v populaci N.
- Krok 3: Nakonec se z-skóre odvodí odečtením průměru od datového bodu a výsledek se poté vydělí standardní odchylkou, jak je znázorněno níže.
Příklady
Příklad č. 1
Vezměme si příklad třídy 50 studentů, kteří minulý týden napsali test z přírodních věd. Dnes je den výsledků a třídní učitel mi řekl, že John získal v testu 93, zatímco průměrné skóre ve třídě bylo 68. Určete z-skóre pro Johnovu testovací známku, pokud je směrodatná odchylka 13.
Řešení:
Vzhledem k tomu,
- Johnovo skóre testu, x = 93
- Průměr, μ = 68
- Směrodatná odchylka, ơ = 13
Proto lze z-skóre pro Johnovo skóre testu vypočítat pomocí výše uvedeného vzorce jako,
Z = (93 - 68) / 13
Z skóre bude -
Z skóre = 1,92
Proto je Johnovo skóre Ztest 1,92 směrodatná odchylka nad průměrným skóre třídy, což znamená, že 97,26% třídy (49 studentů) získalo méně než John.
Příklad č. 2
Vezměme si další podrobný příklad 30 studentů (protože z-test není vhodný pro méně než 30 datových bodů), kteří se zúčastnili třídního testu. Určete z-test skóre na 4 th studentského na základě značek dosažených studenty ze 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66, 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Řešení:
Vzhledem k tomu,
- x = 65,
- 4. ročník studentské skóroval = 65,
- Počet datových bodů, N = 30.
Průměr = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Průměr = 71,30
Nyní lze směrodatnou odchylku vypočítat pomocí vzorce uvedeného níže,
ơ = 13,44
Proto Z-skóre na 4 -tého studenta lze vypočítat podle výše uvedeného vzorce jako,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Z tohoto důvodu, 4 TH studenta skóre je 0.47 směrodatná odchylka pod průměrným skóre třídy, což znamená, že 31,92% z třídy (10 studentů), jehož menší než 4 th studenta podle etovou skóre tabulku.
Skóre Z v aplikaci Excel (s šablonou Excel)
Nyní si vezmeme případ uvedený v příkladu 2, abychom ilustrovali koncept z-skóre v šabloně aplikace Excel níže.
Níže jsou uvedeny údaje pro výpočet Z skóre.
Podrobný výpočet statistik testu vzorce Z Score Formula najdete v níže uvedeném listu aplikace Excel.
Relevance a použití
Z hlediska testování hypotéz je z-skóre velmi důležitým konceptem, který je třeba pochopit, protože se používá k testování, zda statistika testu spadá do přijatelného rozsahu hodnoty. Z-skóre se také používá ke standardizaci dat před analýzou, výpočtu pravděpodobnosti skóre nebo porovnání dvou nebo více datových bodů, které jsou z různých normálních distribucí. Při správném použití z-skóre napříč poli existuje různorodé použití.
