Co je Log-normální distribuce?
Log-normální distribuce je kontinuální distribuce náhodných proměnných, jejichž logaritmy jsou distribuovány normálně. Jinými slovy, lognormální rozdělení je generováno funkcí e x , kde má být normálně distribuováno x (náhodná proměnná). V přirozeném logaritmu e x je x, logaritmy lognormálně distribuovaných náhodných proměnných jsou normálně distribuovány.
Proměnná X je normálně distribuována, pokud Y = ln (X), kde ln je přirozený logaritmus.
- Y = e x
- Předpokládejme přirozený logaritmus na obou stranách.
- lnY = ln e x, což má za následek lnY = x
Můžeme tedy říci, že pokud X jako náhodná proměnná má normální rozdělení, pak Y má lognormální rozdělení.
Normální distribuční vzorec protokolu
Vzorec pro funkci hustoty pravděpodobnosti lognormálního rozdělení je definován střední hodnotou μ a směrodatnou odchylkou σ, která je označena:
Parametry normální distribuce protokolu
Log-normální rozdělení je charakterizováno následujícími třemi parametry:
- σ , směrodatná odchylka logaritmu rozdělení, která se také nazývá parametr tvaru. Parametr tvaru obecně ovlivňuje celkový tvar lognormálního rozdělení, ale nemá vliv na umístění a výšku grafu.
- m , medián distribuce, známý také jako parametr měřítka.
- Θ , parametr umístění, který se používá k vyhledání grafu na ose x.
Průměr a směrodatná odchylka jsou dva hlavní parametry lognormálního rozdělení a tyto dva parametry je výslovně definují.
Následující obrázek ilustruje normální distribuci a log-normální distribuci.
Z výše uvedeného obrázku bychom si mohli všimnout následujících funkcí log-normální distribuce.
- Log-normální rozdělení jsou pozitivně zkosená doprava kvůli nižším průměrným hodnotám a vyšší variabilitě náhodných proměnných v úvahu.
- Lognormální distribuce je vždy omezena zdola 0, protože pomáhá při modelování cen aktiv, u nichž se neočekává záporné hodnoty.
- Lognormální distribuce je pozitivně vychýlena s velkým počtem malých hodnot a zahrnuje několik hlavních hodnot, což má za následek, že průměr je často větší než režim.
Z výše uvedeného obrázku jsme mohli pozorovat, že log-normální rozdělení je omezeno 0 a je pozitivně vychýleno doprava, což si všiml jeho dlouhý ocas směrem doprava. Tato dvě pozorování jsou považována za hlavní vlastnosti lognormálních distribucí. V praxi se lognormální distribuce ukázala jako velmi užitečná při distribuci cen akcií nebo aktiv, zatímco normální distribuce je velmi užitečná pro odhad očekávaných výnosů aktiva za určité časové období.
Příklady normální distribuce protokolu
Následuje několik příkladů, kde lze použít log-normální distribuce:
- Objem plynu v energetické a ropné rezervě.
- Objem produkce mléka.
- Množství srážek.
- Potenciální životy výrobních a průmyslových jednotek, jejichž šance na přežití jsou charakterizovány mírou stresu.
- Rozsah období, ve kterých existuje jakékoli infekční onemocnění.
Aplikace a použití normální distribuce protokolu
Následuje aplikace a použití distribuce log-normal.
- Nejčastěji používanou a populární distribucí je normální distribuce, která je normálně distribuovaná a symetrická a tvoří křivku ve tvaru zvonu, která modelovala různé přirozené od jednoduchých po velmi složité.
- Existují však případy, kdy normální distribuce čelí omezením, kde lze snadno použít lognormální distribuci. Normální rozdělení může uvažovat zápornou náhodnou proměnnou, ale lognormální rozdělení předpokládá pouze pozitivní náhodné proměnné.
- Jedna z různých aplikací, kde se lognormální distribuce používá ve financích, kde se používá při analýze cen aktiv. Očekávaná návratnost aktiv je grafována v normálním rozdělení, ale ceny aktiv jsou graficky zobrazeny v lognormálním rozdělení.
- Pomocí lognormální distribuční křivky můžeme snadno vypočítat složenou míru návratnosti aktiv za určité časové období.
- V případě, že jsme pro výpočet cen aktiv po určitou dobu použili normální rozdělení, existují možnosti, jak získat výnosy nižší než -100%, což následně předpokládá ceny aktiv nižší než 0. Pokud však k odhadu sloučeniny použijeme lognormální rozdělení míra návratnosti za určité časové období, můžeme snadno odvrátit situaci získávání záporných výnosů, protože lognormální rozdělení uvažuje pouze pozitivní náhodné proměnné.
- Cenový relativní je cena aktiva na konci období vydělená počáteční cenou aktiva, která se rovná 1 plus výnosy z doby držení. Abychom našli konec aktiva ceny období, můžeme ho získat vynásobením relativní cenou krát počáteční cenou aktiva. Normální rozdělení má pouze kladnou hodnotu; proto cena aktiva na konci období nemůže být nižší než 0.
Log-normální rozdělení v modelování cen akcií
Log-normální rozdělení bylo použito pro modelování pravděpodobnostního rozdělení akcií a mnoha dalších cen aktiv. Například jsme pozorovali, že lognormální bytí se objevuje v modelu oceňování opcí Black-Scholes-Merton, kde existuje předpoklad, že cena podkladové opce na aktiva je lognormálně distribuována současně.
Závěr
- Normální rozdělení je rozdělení pravděpodobnosti, o kterém se říká, že jde o asymetrickou křivku a křivku ve tvaru zvonu. Při normálním rozdělení 69% výsledku spadá do jedné standardní odchylky a 95% spadá do dvou standardních odchylek.
- Kvůli popularitě normální distribuce je většina lidí obeznámena s konceptem a aplikací normální distribuce, ale v té době se nezdá být stejně obeznámená s konceptem lognormální distribuce. Normální rozdělení lze převést na lognormální distribuci pomocí logaritmů, které se stávají základním základem, protože lognormální distribuce považují jedinou náhodnou proměnnou, která je normálně distribuována.
- Lognormální distribuce lze použít ve spojení s normální distribucí. Lognormální distribuce jsou výsledkem předpokladu přirozeného logaritmu ln, ve kterém je báze rovna e = 2,718. Kromě dané základny bylo možné lognormální distribuci provést pomocí jiné základny, která by následně ovlivnila tvar lognormálního rozdělení.
- Logické rozdělení distribuuje graf normálně distribuovaných náhodných proměnných z křivek normálního rozdělení. Ln, přirozený logaritmus je známý e, exponent, na který by se měla zvednout báze, aby se získala požadovaná náhodná proměnná x, kterou lze najít na křivce normálního rozdělení.
